mi solución, donde me permito el lujo de rectificarles
[spoiler]Para empezar he de decir que existe otra definición de "numeros elegantes", decimos que un número de dos cifras es elegante si satisface la siguiente propiedad: la suma del propio número con el obtenido intercambiando sus cifras es igual al cuadrado de la suma de sus cifras. (ver problema 28 de [url]http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:A3bZd5SL3gQJ:www.masquemates.com/cangmat/03-niv4.pdf+%22numeros+elegantes%22+suma+cuadrado&hl=es&gl=es&pid=bl&srcid=ADGEESg6QVevt_7Kl_THrLtRFmTZCFOmD-Rvxi1XiK_iniaABCTmQAPkc2fpKBR8VNSiN4DRTDk0r1kwTHXw99DOt3FxbCOsG2rs5y-Q-w6Yey50CMhEiUKiDxJrWZao60UZWnSJkJmR&sig=AHIEtbRy9bXxdqH_CejULl20bPMHqmsfhw[/url])

Incluso he visto (por ejemplo en [url]http://icodesnip.com/search/factor/4[/url]) que son aquellos números cuyos factores primos son 2, 3, 5, 7 o 11 ¿?

Y en el primer ejercicio de la página 253 (que realmente es la 261) de [url]http://sydney.edu.au/engineering/it/~soft1002/resources/javabook.pdf[/url] dice que Un número es elegante si es la suma de dos números diferentes elegantes, que se diferencian entre sí por a lo sumo 3.

También he de decir que no está del todo claro el proceso descrito para saber si un número es elegante, ya que se trata de repetir una operación sobre las cifras que compone el número, por tanto parece indicar que en el momento que ya no hayan cifras, es decir el número sea de una sola cifra, y por tanto menor de diez, se ha de finalizar la iteración. Pero se podría entender que no es así y que el proceso termina en cuando se entra en un bucle y solo será elegante si se llega en algún momento al número uno, ya que a partir de ahí siempre se repitiría el mismo número uno. Por ejemplo, si en algún momento obtenemos como resultado el número 9 podríamos dar por finalizado el proceso, o podríamos seguir con la serie 9, 81, 65, 61, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37 y vemos que hemos entrado en un bucle.

Pero como si llegamos a cualquier número de una cifra que sea diferente de 1 o 7, es decir a los números 2, 3, 4, 5, 6, 8 o 9 (ya que el 0 no se puede obtener nunca), entramos en el mismo bucle que el mostrado anteriormente, supondré que el método a utilizar es el segundo descrito (repetir indefinidamente), que es equivalente al primer método (repetir hasta llegar a una sola cifra, que es mucho más fácil de programar en un ordenador) pero pudiendo llegar además de al 1 al 7 (ya que del 7 se deriva la sucesión 49, 97, 130, 10, 1) y por tanto teniendo un posibilidad extra sobre el primer método que es que además de poder obtener el 1 también puedo obtener el 7.

No se me ocurre ninguna propiedad que me permita dilucidar a priori si un número es o no elegante, y por tante poder plantear el problema en términos extrictamente matemáticos. Lo único que puedo deducir es que si un número X es elegante entonces el número Y obtenido a partir de X pero intercambiando de posición sus cifras, o añadiendo cualquier número de ceros en cualquier posición (o una combinación de ambas cosas) es también elegante. Por ejemplo el número 123456 es elegante, por tanto el número 500030600100004002000000 también será elegante.

Y dado que no se me pide todas las parejas consecutivas de números elegante, sino tan solo que encuentre un número infinito de ellos, utilizaré la fuerza bruta para encontrar una pareja y una posible solución al problema será esa pareja y añadiendo ceros en medio.

Entre los primeros cien números los siguientes son elegantes: 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97 y 100.
Vemos que solo hay una pareja de números consecutivos elegantes, el 31 y el 32. Por tanto una posible solución sería los números que tengan la forma 300...001 y 300..002, es decir la pareja inicial pero con un número cualquiera de ceros en medio, desde cero ceros hasta infinitos ceros.

PD: Si ampliamos la búsqueda de números elegantes a los mil primeros números encontramos los siguientes: 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236, 239, 262, 263, 280, 291, 293, 301, 302, 310, 313, 319, 320, 326, 329, 331, 338, 356, 362, 365, 367, 368, 376, 379, 383, 386, 391, 392, 397, 404, 409, 440, 446, 464, 469, 478, 487, 490, 496, 536, 556, 563, 565, 566, 608, 617, 622, 623, 632, 635, 637, 638, 644, 649, 653, 655, 656, 665, 671, 673, 680, 683, 694, 700, 709, 716, 736, 739, 748, 761, 763, 784, 790, 793, 802, 806, 818, 820, 833, 836, 847, 860, 863, 874, 881, 888, 899, 901, 904, 907, 910, 912, 913, 921, 923, 931, 932, 937, 940, 946, 964, 970, 973, 989, 998 y 1000
Donde podemos ver más parejas: 129-130, 192-193, 262-263, 301-302, 319-320, 367-368, 391-392, 565-566, 622-623, 637-638, 655-656, 912-913 y 931-932 y al ser estos números de 3 cifras nos abre más posibilidades, por ejemplo del número 367 podemos sacar el número 300...0067 y el 3600..007, y todos esos números y sus consecutivos también son elegantes.

PD2: Una vez he finalizado este problema he buscado en Google algo sobre estos números, y he encontrado una enciclopedia sobre secuencias de números enteros, y he puesto los once primeros ([url]http://oeis.org/search?q=1%2C+7%2C+10%2C+13%2C+19%2C+23%2C+28%2C+31%2C+32%2C+44%2C+49&language=spanish&go=Buscar[/url]) y he visto que a este tipo de números los llama números felices, y así figura en la Wikipedia ([url]http://en.wikipedia.org/wiki/Happy_number[/url])
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(by Kezu)