Si lo de poner la resistencia en serie con el conjunto condensador-relé en paralelo no te diera resultado (con una R alta para dar tiempo de retardo, igual el relé ni se conecta, porque limitas demasiado la corriente), con un transistor , una resistencia y un condensador sale seguro.

Pones el relé desde la alimentación positiva al colector del transistor (NPN, tipo BC108) El emisor del transistor a masa.
El condensador entre masa y la base del transistor, y la resistencia entre la base del transistor y la entrada. Cuando la entrada suba, empezará a cargar el condensador a través de la resistencia hasta que se alcance, 0'6 v en la base, y entonces conmutará el transistor, conectando el relé tras ese intervalo.
Determina los valores experimentalmente. Por intuición, un condensador de 47 uf y un potenciómetro de 5k como resistencia, y a variar el potenciómetro... No recuerdo la fórmula de la constante de tiempo de un cto RC, que sería la manera de calcular los valores aproximados...

Por cierto, aunque debería ser menor, puede que aparezca también cierto retardo al apagado..Sería eso un problema?

Saludos!