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Desafío matemático: Una paradoja electoral

http://www.elpais.com/videos/socieda...pepusoc_1/Ves/

Una paradoja electoral

Javier Fresán, estudiante de doctorado en Matemáticas en laUniversité Paris 13 Nord, presenta el vigésimo noveno desafío con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Envía tu respuesta a las dos preguntas que formulamos antes de las 0.00 horas del martes 4 de octubre (medianoche del lunes, hora peninsular española) a [email]problemamatematicas@gmail.com[/email], entre los acertantes sortearemos una biblioteca matemática como la que cada domingo se distribuye con EL PAÍS.

A continuación, para aclarar las dudas y en atención a nuestros lectores sordos, añadimos el enunciado del problema por escrito.

Se quiere elegir a un representante entre varios candidatos. Muchos dirían que las matemáticas que intervienen en el proceso se reducen a contar el número de votos. Y, sin embargo, en cuanto se examina la situación con un poco de detalle, se ve que surgen fenómenos extraños.

Imaginemos que, en unas elecciones a las que se presentan siete candidatos, uno de ellos recibe el 40% de los votos, y que el 60% restante se reparte de igual manera entre los otros seis. Sin pensarlo dos veces declaramos ganador por mayoría simple al primer candidato. Ahora bien, si pidiéramos a los votantes que dijeran no solo cuál es su candidato preferido, sino también quién es el que menos les gusta, podría darse la circunstancia de que todos aquellos que no han votado al candidato ganador lo colocasen en último lugar. Y entonces se habría declarado ganador a un candidato que es... ¡el que menos gusta por mayoría absoluta!

Este fenómeno se conoce como paradoja de Borda, en honor al matemático e ingeniero francés Jean-Charles de Borda, que vivió en el siglo XVIII. Precisamente con la intención de que el resultado de las elecciones se ajustase mejor a los gustos de los votantes, Borda introdujo un nuevo método de recuento en el que cada elector coloca a todos los candidatos en orden de preferencia. Por cada votante, si el candidato está en la última posición recibe un punto; si está en la penúltima, dos; en la tercera por el final, tres; y así sucesivamente. A continuación se suman todos los puntos y se declara ganador al que más tiene.

Por ejemplo, en una elección en la que cuatro personas eligen entre tres candidatos A, B y C ordenados del siguiente modo:

Votante 1: A>B>C

Votante 2: C>B>A

Votante 3: B>C>A

Votante 4: A>B>C

Así, el candidato A recibe 3+1+1+3=8 puntos, B recibe 2+2+3+2=9 y C recibe 1+3+2+1=7, luego se declara ganador a B. Ahora bien, el método de Borda da un ganador que podría ser distinto del ganador por mayoría. De hecho, si solo hubiésemos tenido en cuenta el candidato preferido, el ganador habría sido A, que tiene 2 votos, en lugar de 1 como B y C.

Y el desafío de la semana es el siguiente: supongamos que n candidatos se presentan a unas elecciones, ¿qué porcentaje de apoyos tiene que recibir como mínimo un ganador por mayoría para que podamos asegurar que también sería el ganador si el recuento de los votos se hubiera realizado según el método de Borda?

esa situación de que el que gana puede ser a su vez el mas detestado me suena de algo ;)

y siguiendo con el problema, creo que ya sé como plantear el enunciado, a ver si luego lo desarrollo

[QUOTE=kolmo7;4271980]http://www.elpais.com/videos/socieda...pepusoc_1/Ves/

Una paradoja electoral

Javier Fresán, estudiante de doctorado en Matemáticas en laUniversité Paris 13 Nord, presenta el vigésimo noveno desafío con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Envía tu respuesta a las dos preguntas que formulamos antes de las 0.00 horas del martes 4 de octubre (medianoche del lunes, hora peninsular española) a [EMAIL="problemamatematicas@gmail.com"]problemamatematicas@gmail.com[/EMAIL], entre los acertantes sortearemos una biblioteca matemática como la que cada domingo se distribuye con EL PAÍS.

A continuación, para aclarar las dudas y en atención a nuestros lectores sordos, añadimos el enunciado del problema por escrito.

Se quiere elegir a un representante entre varios candidatos. Muchos dirían que las matemáticas que intervienen en el proceso se reducen a contar el número de votos. Y, sin embargo, en cuanto se examina la situación con un poco de detalle, se ve que surgen fenómenos extraños.

Imaginemos que, en unas elecciones a las que se presentan siete candidatos, uno de ellos recibe el 40% de los votos, y que el 60% restante se reparte de igual manera entre los otros seis. Sin pensarlo dos veces declaramos ganador por mayoría simple al primer candidato. Ahora bien, si pidiéramos a los votantes que dijeran no solo cuál es su candidato preferido, sino también quién es el que menos les gusta, podría darse la circunstancia de que todos aquellos que no han votado al candidato ganador lo colocasen en último lugar. Y entonces se habría declarado ganador a un candidato que es... ¡el que menos gusta por mayoría absoluta!

Este fenómeno se conoce como paradoja de Borda, en honor al matemático e ingeniero francés Jean-Charles de Borda, que vivió en el siglo XVIII. Precisamente con la intención de que el resultado de las elecciones se ajustase mejor a los gustos de los votantes, Borda introdujo un nuevo método de recuento en el que cada elector coloca a todos los candidatos en orden de preferencia. Por cada votante, si el candidato está en la última posición recibe un punto; si está en la penúltima, dos; en la tercera por el final, tres; y así sucesivamente. A continuación se suman todos los puntos y se declara ganador al que más tiene.

Por ejemplo, en una elección en la que cuatro personas eligen entre tres candidatos A, B y C ordenados del siguiente modo:

Votante 1: A>B>C

Votante 2: C>B>A

Votante 3: B>C>A

Votante 4: A>B>C

Así, el candidato A recibe 3+1+1+3=8 puntos, B recibe 2+2+3+2=9 y C recibe 1+3+2+1=7, luego se declara ganador a B. Ahora bien, el método de Borda da un ganador que podría ser distinto del ganador por mayoría. De hecho, si solo hubiésemos tenido en cuenta el candidato preferido, el ganador habría sido A, que tiene 2 votos, en lugar de 1 como B y C.

Y el desafío de la semana es el siguiente: supongamos que n candidatos se presentan a unas elecciones, ¿qué porcentaje de apoyos tiene que recibir como mínimo un ganador por mayoría para que podamos asegurar que también sería el ganador si el recuento de los votos se hubiera realizado según [B]el método de Borda[/B]?[/QUOTE]

:) :) :) ¿Otro? si yo todavía no he resuelto el primero :y)

Pero sobre el método de bordar yo sé mucho, y del de punto de cruz, y punto del derecho y revés, así que éste lo voy a resolver en un periquete :D :D :p

debo de haber entendido mal el problema, ya que la solución al mismo es demasiado fácil.

Voy a releermelo un par de veces más, y a ver el video, y si es como pienso ya tengo preparado el email.

En mi solución, a medida que aumenta el número de candidatos el porcentaje de votos debe ser cada vez mayor... de hecho, y hablando de límites, si n tiende a infinito, el porcentaje de votos del candidato ganador debe ser del 100%.

Esta noche preparo el pdf y lo adjunto por correo :)

exacto, el resultado depende de n y tiende al 100%

pero la demostración me ocupa menos de una sola línea, y he tenido que meter labia para que me ocupe 3 párrafos de 3 líneas, por eso creo que es demasiado fácil o hay algo que se me ha pasado por alto

mi conclusion...

Spoiler:

un saludo.

y la mía:

[spoiler]<table bgcolor=#ff0000><tr><td><font color="#ff0000">˙ɹıƃǝlǝ ǝpuop soʇɐpıpuɐɔ sop ɐʎɐɥ souǝɯ lɐ ǝnb ɹıɔǝp sǝ 'ᄅ=< ɹǝs ǝqǝp u ǝnb ɹıɯnsɐ soɯǝpod oʇuɐʇ ɹod 'oʇɐpıpuɐɔ un ɐıɹqɐɥ olos osɐɔ ɐsǝ uǝ oɹǝd '%0ގ lǝp ɹoʎɐɯ ɹǝs ǝnb ɐɹpuǝʇ osɐɔ oʎnɔ uǝ '⇂=u ǝp osɐɔ lǝ ɐɹɐd oʌlɐs (lɐuoıɔıpɐɹʇ opoʇǝɯ lǝ ɹod ɹopɐuɐƃ lǝ ɐǝs uǝıqɯɐʇ ǝnb ɐɹɐd) ᄅ/⇂ ǝnb ɹoʎɐɯ ǝɹdɯǝıs sǝ zǝʌ ns ɐ ǝnb '%00⇂*(u/(⇂-u))<x sǝ opuɐɔsnq soɯɐqɐpuɐ ǝnb ǝɾɐʇuǝɔɹod lǝ oʇuɐʇ ɹod ʎ u/(⇂-u)<d/ʌ <= (⇂-u)*d<u*ʌ ǝnb ɐɹɐp sou pɐplɐnƃısǝp ɐl ǝp sopɐl soqɯɐ ɐ d-ʌ soɯɐɯns ıs ʎ 'ʌ-u*d<d+(⇂-u)*ʌ ǝnb soɯǝɹpuǝʇ q ǝp ɐl ǝnb ɹoʎɐɯ ɐǝs ɐ ǝp uoıɔɐnʇund ɐl ǝnb soɯǝɹǝnb oɯoɔ

˙ʌ-u*d ɐp sou ǝnb 'u*ʌ-u*d+ʌ-u*ʌ ǝp oɯsıɯ ol sǝ ǝnb ol o u*(ʌ-d)+(⇂-u)*ʌ ǝp q ɐɹɐd ʎ 'd+(⇂-u)*ʌ ɹıɔǝp sǝ ⇂*(ʌ-d)+u*ʌ ǝp ɐ ɐɹɐd uoıɔɐnʇund ɐun ɐp sou uoıɔıpuoɔ ɐʇsǝ ˙ɹɐƃnl opunƃǝs uǝ ɐɔzǝɹɐdɐ ǝnb lǝ q ɐǝs oɹǝɯıɹd lǝ ǝɹnƃıɟ ıs ǝnb sol ɐɹɐd sɐɯǝpɐ ʎ 'uoıɔısod ɐɯıʇln uǝ ǝɹnƃıɟ ǝnb oɹǝɯıɹd lǝ ǝɹnƃıɟ ou ɐ ǝnb uǝ soʇoʌ sol uǝ ǝnb ɹıɹɹnɔo ǝp ɐɥ ɐpɹoq opoʇǝɯ lǝ ɐɹɐd oıɹɐuǝɔsǝ ɹoǝd lǝ ɐǝs uǝıqɯɐʇ ǝnb ɐɹɐd oɹǝd

˙ɐıqɐs ɐʎ ɐɹǝınblɐnɔ ǝnb ol sǝ ǝnb %0ގ<x <= ᄅ/⇂<d/ʌ <= d<ʌ*ᄅ <= ʌ-d<ʌ ǝnb ǝsɹıldɯnɔ ǝp ɐɥ lɐuoıɔıpɐɹʇ opoʇǝɯ lǝ ɹod ɹɐuɐƃ ɹǝpod ɐɹɐd oʇuɐʇ ɹod 'q opıʇɹɐd lǝ ɐɹɐd uɐǝs ʌ-d sǝʇuɐʇsǝɹ soʇoʌ sol ǝnb sǝ 'oɟunıɹʇ ns ɹɐɹnƃǝsɐ ɐɹɐd ɹɐɔsnq soɯǝqǝp ǝnb oıɹɐuǝɔsǝ lǝ oʇuɐʇ ɹod ʎ 'ɐ ɐɹɐd oıɹɐuǝɔsǝ ɹoǝd lǝ

˙oɯıʇln lɐ ⇂ ʎ oɯıʇlnuǝd lɐ ᄅ '˙ ˙ ˙ 'opunƃǝs lɐ ⇂-u 'oɹǝɯıɹd lɐ u ǝp uoıɔɐnʇund ɐun ɐp ǝl ǝs ǝnb ol ɹod 'sopıʇɹɐd u uǝɔǝɹɐdɐ ɐʇǝlǝdɐd ɐpɐɔ uǝ ǝnb soɯǝqɐs ʎ ˙ɐpɹoq ǝp lǝ ɹod oɯoɔ oɔısɐlɔ opoʇǝɯ lǝ ɹod oʇuɐʇ 'ɹopǝɔuǝʌ lǝ ɐǝs ɐ opıʇɹɐd lǝ uoıɔɐnʇıs ɹǝınblɐnɔ uǝ ǝnb ǝɹnƃǝsɐ ǝnb oɯıuıɯ (%00⇂*) d/ʌ=x un soɯɐɔsnq oʇuɐʇ ɹod ˙ɐ ɹod sopıuǝʇqo soʇoʌ ǝp oɹǝɯnu lǝ ʌ ʎ 'ǝʇuɐʇoʌ uoıɔɐlqod ɐl d ɐǝs ˙sǝʇuǝuodo soɯıxɐɯ sns ɐ q ʎ 'ɹopɐuɐƃ opıʇɹɐd lɐ ɐ soɯǝɯɐll</font></td></tr></table>[/spoiler]

Ya salió la solución de est desafío y el ganador... esta vez de Ciudad Real. Enhorabuena :)

[url]http://www.elpais.com/articulo/sociedad/dura/eleccion/elpepusoc/20111004elpepusoc_16/Tes[/url]

El próximo jueves tendremos otro... a ver si hay más suerte :D

Vaya, entonces no debo ser yo el ganador.

aquií está mi solución
[quote]Llamemos A al partido ganador, y B a sus máximos oponentes. Sea P la población votante, y V el número de votos obtenidos por A. Por tanto buscamos un X=V/P (*100%) mínimo que asegure que en cualquier situación el partido A sea el vencedor, tanto por el método clásico como por el de Borda. Y sabemos que en cada papeleta aparecen n partidos, por lo que se le da una puntuación de n al primero, n-1 al segundo, . . ., 2 al penúltimo y 1 al último.

El peor escenario para A, y por tanto el escenario que debemos buscar para asegurar su triunfo, es que los votos restantes P-V sean para el partido B, por tanto para poder ganar por el método tradicional ha de cumplirse que V>P-V => 2*V>P => V/P>1/2 => X>50% que es lo que cualquiera ya sabía.

Pero para que también sea el peor escenario para el método Borda ha de ocurrir que en los votos en que A no figure el primero que figure en última posición, y además para los que sí figure el primero sea B el que aparezca en segundo lugar. Esta condición nos da una puntuación para A de V*n+(P-V)*1 es decir V*(n-1)+P, y para B de V*(n-1)+(P-V)*n o lo que es lo mismo de V*n-V+P*n-V*n, que nos da P*n-V.

Como queremos que la puntuación de A sea mayor que la de B tendremos que V*(n-1)+P>P*n-V, y si sumamos V-P a ambos lados de la desigualdad nos dará que V*n>P*(n-1) => V/P>(n-1)/n y por tanto el porcentaje que andábamos buscando es X>((n-1)/n)*100%, que a su vez es siempre mayor que 1/2 (para que también sea el ganador por el método tradicional) salvo para el caso de n=1, en cuyo caso tendrá que ser mayor del 50%, pero en esa caso solo habría un candidato, por tanto podemos asumir que n debe ser >=2, es decir que al menos haya dos candidatos donde elegir.
[/quote]